Pekali-pekali yang terbit hasil daripada pengembangan dipanggil pekali binomial. Pekali binomial lazimnya ditulis ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} , dan disebut " n {\displaystyle n} pilih k {\displaystyle k} ".

Rumus

Pekali x n − k y k {\displaystyle x^{n-k}y^{k}} diberi oleh rumus

( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! {\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}}

yang ditakrifkan dalam sebutan fungsi faktorial n ! {\displaystyle n!} . Rumus ini boleh juga ditulis

( n k ) = ( n ) × ( n − 1 ) × ⋯ × ( n − k + 1 ) ( k ) × ( k − 1 ) × ⋯ × ( 1 ) {\displaystyle {n \choose k}={\frac {(n)\times (n-1)\times \cdots \times (n-k+1)}{(k)\times (k-1)\times \cdots \times (1)}}}

dengan k {\displaystyle k} faktor pada kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan. Ingat, walaupun rumus ini melibatkan pecahan, pekali binomial ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} sebenarnya suatu integer.

Tafsiran kombinatorik

Pekali binomial ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} boleh ditafsirkan sebagai bilangan cara untuk memilih k {\displaystyle k} unsur daripada sebuah set yang mengandungi n {\displaystyle n} unsur. Hal ini ada kaitan dengan binomial kerana: jika kita menulis ( x + y ) n {\displaystyle (x+y)^{n}} sebagai hasil darab

( x + y ) ( x + y ) ( x + y ) ⋯ ( x + y ) , {\displaystyle (x+y)(x+y)(x+y)\cdots (x+y),}

maka, menurut hukum kalis agihan, setelah pengembangan, akan terdapat satu sebutan untuk setiap pilihan pilihan x {\displaystyle x} atau y {\displaystyle y} daripada setiap binomial dalam hasil darab tersebut. Contohnya, akan terdapat hanya satu sebutan x n {\displaystyle x^{n}} hasil daripada memilih x {\displaystyle x} daripada setiap binomial. Walau bagaimanapun, akan terdapat beberapa sebutan dalam bentuk x n − 2 y 2 {\displaystyle x^{n-2}y^{2}} , satu untuk setiap cara pilihan dua binomial untuk menghasilkan y {\displaystyle y} . Oleh itu, selepas menggabungkan sebutan-sebutan serupa, pekali x n − 2 y 2 {\displaystyle x^{n-2}y^{2}} akan menjadi sama dengan bilangan cara untuk memilih 2 unsur daripada set n {\displaystyle n} unsur.

Suatu jalan cepat untuk memanjangkan binomial

Diberikan suatu jangka cxiyj dalam pemanjangan binomial (x + y)n, jangka seterusnya dapat diperolehi dengan mengurangkan i sebanyak 1, menambahkan j sebanyak  1, mendarabkan dengan i lama, dan membahagikan dengan  j yang baru.Ini membuatkan seorang mengira secara cepat pada pemanjangan keseluruhan dengan tangan, satu demi satu jangka, bermula dari jangka utama xn = 1xny0.Contohnya, jangka berikutnya 45x8y2 pada pemanjangan (x + y)10 adalah

8 3 45 x 7 y 3 = 120 x 7 y 3 . {\displaystyle {\frac {8}{3}}45x^{7}y^{3}=120x^{7}y^{3}.}

Muslihatnya ini bergantung dengan pengenalan yang berikutnya:

( n k + 1 ) = n − k k + 1 ( n k ) . {\displaystyle {n \choose {k+1}}={\frac {n-k}{k+1}}{n \choose k}.}